Chapitre 24
Calcul d~ valeurs approchées
d'une intégrale
24.1 Interpolation polynomiale
24.1.1 Interpolations de Lagrange et Hermite
Théorème 24.1 On considère un intervalle réel I, une application f: I--+ lR
et n un entier naturel strictement positif. Si xi, · · · Xn sont n points distincts
de I, il existe un unique polynôme L de degré au plus ( n - 1) vérif ant
Vi E {1, · · · , n }, L(xi) = f(xi)·
Ce polynôme L est appelé polynôme d'interpolation de Lagrange de f relatif
aux points xi, · · · Xn. On a
avec
n
Vx E IR, L1(x) = Lf(xi)li(x),
i=l
n
ViE {1,··· ,n} li(x)= II x-xi.
j=l Xi - Xj
j,,.i
Les polynômes li sont appelés polynômes élémentaires d'interpolation de Lagrange relatif aux points X1, · · · Xn.
Preuve. Considérons l'application cp définie par,
cp: 1Rn-1(X] ---+ !Rn
P
1--t
(P(x1), P(x2), · · · , P(xn)).