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FONCTIONS INTÉGRABLES
où K est une constante réelle; D'après (23.27),
Vx > 0, IF(x)I :::; r+= e-xtdt = .!..
lo
X
On en déduit que l'application F admet une limite nulle en +oo et que
K =O. Ainsi,
Vx > 0,
23.5.4 La fonction Gamma
Exercice 23.5 On considère la fonction de variable réelle :
1. Montrer que la fonction r est définie et continue sur JR+*.
2. Montrer que :
Vx E JR+*, I'(x + 1) = xI'(x).
3. En déduire la valeur de I'(n) pour n EN*.
4. En déduire que r(x) '"" ~·
x--+O
Solution.
1. Sachant que, pour tout réel x,
on déduit que, pour tout réel x négatif ou nul, l'application t r-t tx- 1 e-t n'est
pas intégrable sur JR+. Montrons désormais que la fonction r est définie et
continue sur JR+* Considérons a et b deux réels strictement positifs vérifiant
a< b.
Cette dernière application est intégrable sur JR+. De plus, la fonction
f : ]a, b[ xJR+ ----t lR
(x, t)
1---->
tx-le-t
étant continue sur ]a, b[ xJR+, on en déduit en utilisant le théorème 23.14 que
l'application r est continue sur l'intervalle ]a, b[ puis sur Uo JR+*.