23.5. INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE
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3. Donner une expression de F' puis de F à l'aide des fonctions usuelles.
Solution.
1.
2.
3.
(23.27)
Ainsi, pour tout réel x strictement positif, l'application t 1-t f(x, t) est intégrable sur R.+*. Ceci justifie l'existence de l'application F.
\f(x, t) E (R.+*) 2 , ~~ (x, t) = - sin 2 te-xt.
Soit a un réel strictement positif. Alors,
\f(x, t) E]a, +oo[ X JO, +oo[, 1 ~~ (x, t) 1 :::; e-at.
Cette dernière application est intégrable sur R.+*. Ainsi, l'application F est
dérivable sur ]a, +oo[ avec,
\fx >a, F'(x) = -1+oo sin 2 te-xtdt.
On en déduit que l'application F est dérivable sur R.+* avec
\fx > 0, F'(x) = -1+oo sin 2 te-xtdt.
\fx > 0,
1
+00
11+00
F'(x) = -
sin 2 te-xtdt = -
(-e-xt +cos 2te-xt) dt
0
2 0
= _2_ + ~~ ( r+oo e(2i-x)tdt) .
2x 2
} 0
Or,
\fx > 0, r+oo e(2i-x)tdt = [-1-e(2i-x)t] +oo = _1_ = X+ 2i.
} O
2i - X
O
X - 2i
x 2 + 4
On en déduit que
\fx > 0,
Ce qui permet d'écrire,
\fx > 0,
'( )
1
1 X
F X=--+---.
2x
2 x 2 + 4
1 x 2 +4
F(x) = 4 1n --;2 + K