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FONCTIONS INTÉGRABLES
Pour tout réel x non nul, effectuons dans l'intégrale, le changement de variable u = xt.
\lx E IR*, F' (x) = -2e-x
2 fox e-u
2 du.
Nous remarquons que nous avons cette égalité pour x =O. D'autre part, G
est dérivable sur lR avec,
On en déduit que
\lx E IR, F'(x) + G'(x) =O.
3. Ainsi,
\lx E IR, F(x) + G(x) = F(O) + G(O) = f
1 l dt 2
} 0
+t
Nous remarquons que
Ainsi,
limx-++ooF(x) = 0,
et G étant une application à valeurs positives sur JR+,
lim G(x) = ~ 4 puis
x-++oo
lim y'G(X) = ..fa.
x-++oo
2
On en déduit que
Exercice 23.4 On définit sur (JR+*) 2 , l'application f par
f: (JR+*)2
(x, t)
1. Vérifier que, pour tout réel x strictement positif, l'application t 1---+ si~ 2 te-xt est
intégrable sur JR+.
On définit ainsi sur JR+* l'application F par :
\lx> 0, F(x) =
~e-xtdt.
1
+00 . 2t
0
t
2. Montrer que F est dérivable sur JR+*.