23.5. INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE
479
L'application F est dérivable en x de dérivée
F'(x) = 1 ~~ (x, t)dt.
23.5.3 Exercices
e_.,2(1+t2)
Exercice 23.3
1. Vérifier que, pour tout réel x, l'application t f-+
l+t2
est
intégrable sur le segment [O, l].
On considère les applications F et G définies sur lR par :
2. Montrer que Fest de classe C 1 sur lR et que /'(x) + e;(x) =O.
3. En déduire la valeur de I = J 0 +
00 e-t
2 dt.
Solution.
_.,2(l+t2)
1. Pour tout réel x, l'application t f-+ e Ht2 est continue sur le segment [O, l]
donc intégrable sur ce segment.
2. On note f l'application définie par
f: lR X [0, l]
(x, t)
\t(x, t) E lR X [0, l],
8f(x, t) __ 2
-x2(1+t2)
ax
-
x.e
.
Soit a un réel strictement positif. Alors,
1
8fa(xx, t) 1 <_ 2a.
\lx E] - a, a[, \tt E [O, l],
Toute application constante étant intégrable sur le segment [O, l], on en
déduit que Fest dérivable sur le segment [-a, a] avec,
On en déduit que F est dérivable sur lR avec,
\lx E IR, F'(x) = -2x fo
1 e-x
2 (1+t
2 ldt = -2xe-x
2
fo
1 e-(xt)
2 ldt.