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FONCTIONS INTÉGRABLES
23.5.2 Dérivabilité
Théorème 23.15 Soient I et J deux intervalles de R, f : I x J --t fonction définie sur I x J et g : J --t R+ une fonction intégrable sur J. On
suppose
1. Pour tout x élément de I, l'application t --t f(x, t) est continue par morceaux et intégrable sur J,
2. f est dérivable par rapport à x sur I x J et
Alors l'application F définie par
\lx E J, F(x) = 1 f(x, t)dt
est dérivable sur I et
\lx E J, F'(x) = 1 ~~ (x, t)dt.
Preuve. Soit x un élément de l'intervalle J. Montrons que l'application F est
dérivable en x. Considérons pour cela une suite (xn)nEN d'éléments de I convergente vers x telle que pour tout entier naturel n on ait Xn =f. x. Pour tout entier
naturel n, définissons l'application Tn par
t f----+
f(xn ,t)- f(x,t)
Xn-X
Nous avons,
Vt E J,
âf
lim Tn(t) = - 8 (x, t).
n---++oo
X
D'autre part, en utilisant le théorème des accroissements finis, nous pouvons choisir, pour tout réel t élément de l'intervalle J et pour tout entier naturel n, un
élément de I noté Yt,n compris entre x et Xn vérifiant
T. (t) = f(xn, t) - f(x, t) = âf ( t)
n
â Yt,n, ·
Xn-X
X
Ainsi,
Nous pouvons appliquer le théorème de convergence dominée :
lim F(xn) - F(x) = lim { Tn(t)dt = { ââf (x, t)dt.
n---++oo
Xn - X
n---++oo}J
}J X