23.5. INTÉGRALES DÉPENDANT D'UN PARAMÈTRE
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23.5 Intégrales dépendant d'un paramètre
23.5.1 Continuité
Les deux thèorèmes suivants sont des conséquences du théorème de convergence
dominée.
Théorème 23.14 Soient I et J deux intervalles de JR, f : I x J - t fonction continue sur I x J et g : J - t JR+ une fonction intégrable sur J. On
suppose
\/(x, t) EIX J, lf(x, t)i :::; g(t).
Alors l'application F définie par
\lx E J, F(x) = i f(x, t)dt
est continue sur l'intervalle I.
Preuve. Soit x un élément de l'intervalle J. Montrons que l'application F est
continue en x. Considérons pour cela une suite (xn)nEN d'éléments de I convergente
vers x. Définissons alors pour tout entier naturel n, l'application f n définie sur
l'intervalle J par
fn: J --+ t 1--t f (xn, t).
Nous avons
Vt E J,
lim fn(t) = f(x, t).
n->+oo
\ln EN, Vt E J, fn(t) :::; g(t).
Cette dernière application étant intégrable sur J, nous pouvons utiliser le théorème
de convergence dominée. Ainsi,
lim F(xn) = lim { fn(t)dt = { f(x, t)dt = F(x).
n->+oo
n->+oo } J
} J
On en déduit que Fest continue au point x puis sur l'intrvalle J.