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FONCTIONS INTÉGRABLES
Solution.
1. Effectuons le changement de variable
t: [O, ~] ~ [Ov'n]
X
t-----+
Vn COS X.
On obtient dt= -ynsinxdx. Ainsi,
[1i
{!j
rfii ( t2)n
Vn lo sin 2 n+i xdx = Vn lo (1- cos 2 xt sinxdx = lo 1 - n dt.
2. Considérons, pour tout entier naturel n strictement positif, l'application fn
définie sur JR+ par
fn: JR+ ~ JR+
t
1-----+
1ro,y'iïr(t) x (1- ~r.
La concavité de l'application, xi--+ ln(l - x) sur l'intervalle J - oo, 1[, permet
d'écrire
Vx E] - oo, 1[, ln(l - x) :=:; -x.
On en déduit que
(
t2)n
Vt E [O, Vfi,[,
1 - n
:::; e-t
2 ,
puis que
Vt E JR+, 0 :=:; fn(t) :=:; e-t
2 •
Cette dernière application est intégrable sur JR+. De plus,
lim f n(t) = e-t
2 •
n-++oo
Il suffit d'utiliser le théorème de convergence dominée pour conclure.
3. On peut écrire, grâce à la formule de Wallis,
Vn [1i sin 2 n+l xdx rv vnJ 7r rv Vif.
lo
2(2n+l)
2
Cette suite étant convergente vers ( J 0 +
00 e-t
2 dt), on obtient le résultat
désiré.