23.4. THÉORÈMES DE CONVERGENCE
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2
L'application x 1--+ e-x étant intégrable sur JR+, nous pouvons utiliser le
théorème de convergence dominée :
lim
e-x
2 sinn x dx = lim
9n(x) dx =
O.dx =O.
1
+00
1+00
1+00
n-++oo 0
n-++oo 0
0
5. Pour tout entier naturel n, on note fn, l'application définie sur IR* par
· 2n
Vx E IR*, fn(x) = sm 2 x.
X
Nous remarquons que l'application fo n'est pas intégrable sur IR. Pour tout
entier n strictement positif, l'application se prolonge par continuité en O.
Vn > 0, Vx E IR*,
Cette dernière application est intégrable sur lR. On en déduit que, pour tout
entier naturel strictement positif n, l'application fn est intégrable sur JR+.
Nous avons
Utilisons le théorème de convergence dominée :
1 .
sm xd -
l'
f ( ) d -
{ 2+nZ}
d - 0
1
+00 · 2n
1+00
1+00 1 "
(x)
lm
2
X -
lm
n X
X -
2
X - .
n-++oo _ 00
X
0
n-++oo
0
X
Exercice 23.2
1. Montrer que, pour tout entier n strictement positif, on a
r~
rrn ( t2)n
vn Jo sin 2 n+l x dx = Jo 1 - n dt.
2. Montrer que la suite définie dans la première question est convergente avec
1
Vn (
t2)n
1+00
2
lim
1 - -
dt =
e-t dt.
n-++oo 0
n
0
3. En utilisant la formule de Wallis (voir exercice 13.3, page 206),
1~ sinP X dx rv .jii,
montrer que
r+oo e-t2 dt = .;;;r.
Jo
2