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FONCTIONS INTÉGRABLES
Solution.
1. Nous avons
7r
\ln E N, \lx E [O, 2], lcosn xi :::; 1.
Toute application constante est intégrable sur un segment. De plus,
7r
\lx E [O, 2],
En utilisant, le théorème de convergence dominée, on obtient
2.
\ln E N, Vx E JR.+,
Cette dernière fonction est intégrable sur JR.+. De plus,
v JR.+ r
1
1
( ) -x
1
1
( )
XE
' n-!~oo lnn(l + x) +ex = (O,e-1( Xe + 1 + ee-lu {(e-1)} X .
En utilisant le théorème de convergence dominée, on obtient
1
+00
dx
1e-l
lim
n
=
e-xdx = 1 - e 1 -e.
n---++oo 0
ln (I+x)+ex
0
3. On peut remarquer que la fonction n'est pas intégrable sur JR.+ pour n =O.
\ln 2:' .: 1, \lx 2:' .: 0,
1
1
0:::; \i"x2n + 1 :::; l10,11(x) + x2 l[1,+00J(x)
Cette dernière fonction est intégrable sur [O, +oo[. Après avoir vérifié que
lim
1
= 11011(x) + 1 2 111 +001(x),
n---++oo \i"x2n + 1
'
X
'
nous pouvons utiliser le théorème de convergence dominée et nous obtenons
1
+00
1
11
f + 00 dx
lim
dx =
dx +
- = 2.
n---++oo 0
V'x2n + 1
0
1
x2
4. Pour tout entier naturel n, on note fn et 9n les applications définies sur JR.+
par
{
Vx E JR.+, fn(x) = e-x
2 sinn x,
9n = fn.llR\fZ·
\ln E N, \lx E JR.+,
On en déduit que, pour tout entier naturel n, les applications fn et 9n sont
intégrables sur JR.+ et de même intégrale. Nous avons
lim 9n(x) =O.
n---++oo