23.4. THÉORÈMES DE CONVERGENCE
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23.4 Théorèmes de convergence
23.4.1 Théorème de convergence monotone
Théorème admis 23.12 Soient I un intervalle de lR et Un)nEN une suite
croissante de fonctions positives intégrables sur I et convergent simplement
vers une fonction f continue par morceaux sur tout segment inclus dans I. Si
la suite
cfr fn(t)dt)nEN>
est majorée alors f est intégrable sur I et
{ f(t)dt = lim { fn(t)dt.
11
n-++00 11
23.4.2 Théorème de convergence dominée
Théorème admis 23.13 Soient I un intervalle de IR, Un)nEN une suite de
fonctions de I dans C continues par morceaux sur tout segment inclus dans
I et convergente simplement vers une fonction f continue par morceaux sur
tout segment inclus dans I. On suppose qu'il existe une fonction g : I ---+ JR+
intégrable sur I vérifiant
\:/n EN, \:/t E I, lfn(t)I :::; g(t),
alors f est intégrable et
{ f(t)dt = lim { fn(t)dt.
11
n-++00 11
Exercice 23.l Montrer que les suites proposées sont convergentes et indiquer leur
limite.
1. J 0 ~ cosn x dx,
2. Jo+oo lnn(l_;:z:)+e"' dx,
3. fo+oo ~dx,
4. J 0 + 00 e-x
2 sinn x dx,
5 f +oo sin 2 n x d
. -oo ----:tr- X.