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FONCTIONS INTÉGRABLES
Preuve. Vérifions que Lb(l) est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des
applications continues sur l'intervalle l.
1. L'application nulle appartient à Lb(l).
2. Soient f et g deux éléments de Lb(I). Alors,
Ainsi, l'application (f + g) 2 est intégrable sur I et l'application (J + g)
appartient à Lb(l).
3. Il est évident que, si f appartient à Lb(l) et si À est un réel, alors V
appartient à Lb(l).
Proposition 23.10 Si f et g sont deux éléments de Lb(I), alors l'application
f.g est intégrable sur l.
Preuve. Nous avons
(Ill + lgl) 2 ;::: o.
Ainsi,
2lfgl:s;f 2 +g 2 •
D'où, le résultat.
Ceci permet de justifier l'existence de l'application suivante :
Proposition 23.11 L'application
V(f,g) E (Lb(I)) 2 , < f,g >= 1J(t)g(t)dt
définit un produit scalaire sur (Lb(I)) 2 •
Preuve. Évident.