23.3. EXEMPLES D'ESPACES L~(J)
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(c) Si I =]A, B] avec -oo::; A< B < +oo, considérons (an)nel\l, une suite
strictement décroissante d'éléments de ]A, B], tendant vers A lorsque n
tend vers +oo. Alors,
{B f(t)dt = lim {B f(t)dt = 1 f(t)dt.
J A
n--++oo jan
[A,B[
(d) Si I =]A, B[ avec -oo::; A< B::; +oo, considérons C un point de l'intervalle ]A, B[, (an)nel\l, une suite strictement décroissante d'éléments
de ]A, CJ, tendant vers A lorsque n tend vers +oo et (bn)nel\l, une suite
strictement croissante d'éléments de (C, B[, tendant vers B lorsque n
tend vers +oo. Alors,
LB f(t)dt = le f(t)dt + [B f(t)dt
l e
ibn
= lim
f(t)dt + lim
f(t)dt
n--++oo an
n--++oo e
= lim rbn f(t)dt = l f(t)dt.
n--++oo Jan
JA,B[
23.3 Exemples d'espaces L'f;(I)
23.3.1 Espaces Lh(I)
On considère I un intervalle réel. On note Lh(I), l'ensemble des applications,
à valeurs réelles, intégrables sur I.
Proposition 23.8 L'ensemble Lh(I) muni des lois+ et. est un espace vectoriel réel. L'application qui à tout élément f de Lh(I) associe
111111 = 1 IJ(t)ldt
est un norme sur Lh(I).
Preuve. Évident.
23.3.2 Espaces Lb(!)
On considère I un intervalle réel. On note Lb(I), l'ensemble des applications,
à valeurs réelles, de carré intégrables sur I.
Proposition 23.9 L'ensemble Lb(I) muni des lois+ et . est un espace vectoriel réel.