470
FONCTIONS INTÉGRABLES
est convergente vers O. Ainsi,
lim
r n f(t)dt - r n f(t)dt =o.
(
b"
b
)
n-++oo } a'r:.
} an
On en déduit que
lim ( rb~ f(t)dt) = lim ( rbn f(t)dt) .
n-++oo } a'r:_
n-++oo } an
On montre de même que
lim
r n f(t)dt = lim r n f(t)dt .
(
b"
)
(
b'
)
n-++oo } a';_
n-++ex> } a'n
D'où, le résultat.
Proposition 23. 7 Soit I un intervalle de IR et f une application continue par
morceaux sur I à valeurs réelles ou complexes. Alors,
1. L'application f est intégrable sur I si et seulement si l'intégrale
généralisée de f sur I est absolument convergente.
2. Dans ce cas, les deux intégrales sont égales.
Preuve.
1. Évident d'après la définition d'une application intégrable et la proposition
23.4.
2. Supposons maintenant que l'application f soit intégrable sur l'intervalle J.
Utilisons le théorème-définition 23.6.
(a) Si I=[A,B] avec -oo < A < B < +oo, il suffit d'utiliser les deux suites
constantes (an)nEJ\I et (bn)nEN définies par
Vn EN, an =A et bn =B.
On obtient
{B f(t)dt = i f(t)dt.
}A
[A,B}
(b) Si I = [A, B[ avec -oo strictement croissante d'éléments de [A, B[, tendant vers B lorsque n
tend vers +oo. Alors,
{B f(t)dt = lim rbn f(t)dt = i f(t)dt.
j A
n-++oo j A
[A,B[