23.2. INTÉGRABILITÉ D'UNE FONCTION
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Proposition 23.5 Soient I un intervalle de IR, f une application continue par
morceaux sur I à valeurs réelles ou complexes et g une application à valeurs
réelles positives intégrable sur I. Si
Vt E J, lf(t)I::; g(t),
alors l'application f est intégrable sur I.
Preuve. Il suffit d'utiliser la proposition 23.1
Théorème-définition 23.6 Soient I un intervalle de IR, f une application à
valeurs réelles ou complexes intégrable sur I. Alors, pour tout suite ([an, bn])neN
croissante de segments de réunion I, la suite (Ji[ b 1 f(t)dt) est converan, n
nEN
gente. Sa limite est indépendante de la suite ([an, bn])nEN et notée J 1 J(t)dt.
Preuve. Soit ([ani bnDneN une suite croissante de segments de réunion I. Nous
savons que la suite (tn IJ(t)ldt) est convergente donc de Cauchy. Pour tous
an
nEN
entiers naturels n et p vérifiant n :' . ' . ' . p,
If f (•)dt_ f f (t)d•I ~ If f (•)dt+ f J(•)dtl
: : ; 1:p IJ(t)ldt + 1:n IJ(t)ldt = 1:n IJ(t)ldt -1:p IJ(t)ldt.
On en déduit que la suite (tn f(t)dt) est une suite de Cauchy à valeurs dans C
an
nEN
donc convergente. Pour terminer, montrons que la limite de cette suite ne dépend
pas de la suite de segments choisie. Considérons ([an, bn])neN, ([a~, b~])nEN deux
suites croissantes de segments de réunion I. Définissons pour tout entier naturel
n,
et
La suite de segments ([a~, b~])neN est croissante de réunion I.
lt f (•)dt - t f (t)dtl ~ 11. ; · f (•)dt+ t f (•)d•I
: : ; l~n IJ(t)ldt +lb~ IJ(t)ldt = 1:~ IJ(t)ldt - lbn IJ(t)ldt.
n
n
n
n
Nous savons que la suite
( ( lf(t)ldt- f lf(t)ldt) nEN