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FONCTIONS INTÉGRABLES
On en déduit que l'application F admet une limite en B avec
lim F(x) = 1 f(t)dt.
x-+B
(A,B(
L'intégrale de f sur l'intervalle [A, B[ est convergente avec
{B f(t)dt = 1 f(t)dt.
jA
(A,B[
(c) Si I =]A,B] avec -oo:::; A< B < +oo.
Même raisonnement que précédemment.
(d) Si I =]A, B[ avec -oo:::; A< B:::; +oo.
Considérons un réel C vérifiant A < C < B. Pour tout segment [a, b]
inclus dans l'intervalle )A, C) ou dans l'intervalle [C, B[, nous avons,
l
b J(t)dt :::; r J(t)dt.
a
j]A,B[
L'application f est ainsi intégrable sur les intervalles ]A, C) et [C, B[ et
d'après (b) et (c), les intégrales
Le f(t)dt, [B f(t)dt puis LB f(t)dt
sont convergentes. Considérons (an)nEN, une suite décroissante d'éléments de l'intervalle )A, C) tendant vers A lorsque n tend vers +oo et
(bn)nEN, une suite croissante d'éléments de l'intervalle [C, B[ tendant
vers B lorsque n tend vers +oo. Ainsi,
LB f(t)dt =Le f(t)dt + [B f(t)dt
l
e
1bn
= lim
f(t)dt + lim
f(t)dt
n-++oo an
n-++oo e
= lim 1bn f (t)dt = r f(t)dt.
n-++oo an
j]A,B[
23.2 Intégrabilité d'une fonction
Définition : Soient I un intervalle de ~ et f une application continue
par morceaux sur I à valeurs réelles ou complexes. On dit que f est
intégrable sur I si la fonction à valeurs réelles positives lfl est intégrable
sur I.