23.1. INTÉGRABILITÉ D'UNE FONCTION POSITIVE SUR UN INTERVALLE
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La suite (tn f (t)dt) est convergente vers J 1 f (t)dt.
.ft
an
nEN
Proposition 23.4 Soient I un intervalle de ~ et f une application continue
par morceaux sur I et à valeurs réelles positives. Alors f est intégrable sur I
si et seulement si l'intégrale généralisée de f sur l'intervalle I est convergente.
Dans ce cas, les deux intégrales sont égales.
Preuve. Soit f une application continue par morceaux sur l'intervalle I. On notera
A et B les extrémités de l'intervalle I.
1. Supposons que l'intégrale
LB f(t)dt
soit convergente. L'application f étant à valeurs réelles positives, en utilisant
la relation de Chasles, pour tout segment [a, b] inclus dans I, nous obtenons,
lb f(t)dt :::; LB f(t)dt.
On en déduit que l'application f est intégrable sur l'intervalle I.
2. Réciproquement, supposons que l'application f soit intégrable sur l'intervalle I
(a) Si I = [A,B] avec -oo Pour tout segment [a, b] inclus dans [A, B], nous avons
lb f(t)dt :::; LB f(t)dt.
Ainsi,
1
f(t)dt =
sup
{b f(t)dt = {B f(t)dt.
(A,BJ
(a,b)C(A,B] la
}A
(b) Si I = [A,B[ avec -oo On considère l'application F, définie sur l'intervalle [A, B[, par
F: [A,B[ --+ ~+
X
~ f~ f(t)dt
et (bn)nEN, une suite strictement croissante d'éléments de [A, B[, tendant vers B lorsque n tend vers +oo. D'après la proposition 23.3, la
suite (F(bn))nEN est convergente avec
lim F(bn) = lim {bn f(t)dt = 1 f(t)dt.
n->+oo
n->+oo} A
[A,B[