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FONCTIONS INTÉGRABLES
Proposition 23.2 Soient I un intervalle de lR. et f une application continue
par morceaux sur I et à valeurs réelles positives. S'il existe une suite croissante
de segments ([an, bn])nEN dont la réunion est égale à I telle que la suite
(t j(t)dt) nEN
soit majorée, alors f est intégrable sur I.
Preuve. Supposons qu'il existe une suite croissante de segments ([an, bn])nEJ\I de
réunion I telle que la suite (tn f(t)dt) soit majorée. Considérons un segment
an
nEJ\I
[a, b] inclus dans I. Il existe un entier naturel no tel que {a, b} C [an 0 , bn 0 ]. Alors,
l b 1bn 0
1bn
f(t)dt:::;
f(t)dt:::; sup
f(t)dt.
a
an 0
nEJ\I an
On en déduit que f est intégrable sur I.
Proposition 23.3 Soient I un intervalle de lR. et f une application continue
par morceaux sur I et à valeurs réelles positives. Si f est intégrable sur I,
alors, pour toute suite croissante de segments ([an, bn])nEN de réunion I, la
suite (tn f(t)dt) est convergente avec
an
nEJ\I
lim rbn f(t)dt = r f(t)dt.
n->+oo lan
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Preuve. Considérons ([an, bn])nEN une suite croissante de segments vérifiant I =
u~~[an, bnl·
\ln EN,
{bn f(t)dt:::; sup {b f(t)dt = { f(t)dt.
lan
[a,b]Cl la
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La suite (tn f(t)dt) est croissante et majorée donc convergente.
an
nEJ\I
Soit E un réel strictement positif. Considérons un segment [a, b] inclus dans I
vérifiant
1b f(t)dt > 1 f(t)dt - E.
Soit no un entier naturel vérifiant
Nous obtenons
\ln;:::: no,
r f(t)dt - E < rb f(t)dt :::; rbn f(t)dt:::; r f(t)dt.
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la
lan
11