Chapitre 23
Fonctions intégrables
Dans ce chapitre, tous les intervalles considérés sont non vides. On pourra
revoir la définition d'une application continue par morceaux, page 98.
23.1 Intégrabilité d'une fonction positive
sur un intervalle
Définition : Soient I un intervalle de lR et f une application continue
par morceaux sur I à valeurs réelles positives. On dit que f est intégrable
sur I s'il existe un réel positif M tel que, pour tout segment [a, b] inclus
dans I, on a
1b f(t)dt:::; M.
On note
{ f(t)dt = sup fb f(t)dt.
J1
(a,b]CI la
Voici une première proposition, simple à prouver, mais très utile.
Proposition 23.1 Soient I un intervalle de IR, f et g deux applications continues par morceaux sur I à valeurs réelles positives. On suppose que l'application g est intégrable sur I et que
Vt E J, f(t) :::; g(t).
Alors l'application f est intégrable sur I.
Preuve. Pour tout segment [a, b] inclus dans I, nous avons
1b f(t)dt :::; 1b g(t)dt:::; 1 g(t)dt.
On en déduit que l'application f est intégrable sur /.
Fonctions intégrables
Dans ce chapitre, tous les intervalles considérés sont non vides. On pourra
revoir la définition d'une application continue par morceaux, page 98.
23.1 Intégrabilité d'une fonction positive
sur un intervalle
Définition : Soient I un intervalle de lR et f une application continue
par morceaux sur I à valeurs réelles positives. On dit que f est intégrable
sur I s'il existe un réel positif M tel que, pour tout segment [a, b] inclus
dans I, on a
1b f(t)dt:::; M.
On note
{ f(t)dt = sup fb f(t)dt.
J1
(a,b]CI la
Voici une première proposition, simple à prouver, mais très utile.
Proposition 23.1 Soient I un intervalle de IR, f et g deux applications continues par morceaux sur I à valeurs réelles positives. On suppose que l'application g est intégrable sur I et que
Vt E J, f(t) :::; g(t).
Alors l'application f est intégrable sur I.
Preuve. Pour tout segment [a, b] inclus dans I, nous avons
1b f(t)dt :::; 1b g(t)dt:::; 1 g(t)dt.
On en déduit que l'application f est intégrable sur /.