22.11. CONVERGENCES
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Il s'agit donc de la convergence simple de la suite de fonctions de répartition
Fn (sauf au plus sur l'ensemble des points de discontinuité de F).
Une conséquence de cette définition est la suivante :
Exercice 22.15 Considérons une suite de variable aléatoire (Xn)nEN* vérifiant
Vn EN*,
1
IP'(Xn = -) = 1
n
et X une variable aléatoire vérifiant IP'(X = 0) = 1. Montrer que la suite (Xn)nEN*
converge en loi vers la variable X.
Solution. Pour tout entier naturel strictement positif n, on note Fn la fonction de
répartition de la variable aléatoire Xn et F la fonction de répartition de la variable
aléatoire X. Nous remarquons que
{
F = l[o,+oo[
Vn EN*, Fn = 1[~.+oo[
L'application Fest continue en tout point de IR*.
1. Pour tout réel x strictement négatif, la suite (Fn(x))nEN* est constante et
égale à O. Elle est donc convergente vers F(O) =O.
2. Pour tout réel x strictement positif, la suite (Fn(x))nEN* est stationnaire et
égale à 1 à partir d'un certain rang. Elle est donc convergente vers F(x) = 1.
Nous obtenons le résultat désiré.
Proposition 22. 79 On considère (Xn)n une suite de variables aléatoires et
X une variable aléatoire toutes à valeurs dans N. Alors,
( Xn !;;( X) {::=::} ( Vk E N,
lim IP'(Xn = k) = IP'(X = k)) .
n-++oo
Preuve. Pour tout entier naturel n, on note Fn la fonction de répartition de la
variable aléatoire Xn et F la fonction de répartition de la variable aléatoire X.
1. Supposons que la suite (Xn)n converge en loi vers la variable X. La variable
X étant à valeurs dans N, sa fonction de répartition F est continue sur IR\ N.
Ainsi, pour tout entier naturel k, on a
1
1
.
1
.
1
IP'(X=k)=F(k+-)-F(k-- 2 )= hm Fn(k+- 2 )- hm Fn(k-- 2 )
2
n-++oo
n-++oo
lim (Fn(k + ~) - Fn(k - ~ )) = lim IP'(Xn = k).
n-++oo
2
2
n-++oo
D'où le résultat.