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PROBABILITÉS
5. (a) Pour tout réel s appartenant à l'intervalle ]O, a], nous avons
lP' ( ~n ;:::: JE(X) + ê) = lP' (exp s (Sn - n(JE(X) + e)) 2: 1)
S JE (exp s (Sn - n(JE(X) + e))) = (cp (s)t e-(IE(X)+e:)ns
Markov
= f(È(X)+e:)(s).
(b) En remarquant que f(JE(X)+e:)(O) = 1 et que J(JE(X)+e:)(O) = -e, on peut
choisir un réel so appartenant à JO, a] vérifiant
0 < f(JE(X)+e:)(so) < 1.
Notons a la valeur de f(so). On obtient le résultat désiré.
6. (a) Pour tout réel s appartenant à l'intervalle [-a, O[, nous avons
7.
lP' (-; S JE(X) - ê) = lP' (exp s (Sn - n(JE(X) - e)) 2: 1)
S JE (exp s (Sn - n(JE(X) - e)))
Markov
= (cp (s)t e-(IE(X)-e:)ns = f(È(X)-e:)(s).
(b) En remarquant que f(JE(X)-e:)(O) = 1 et que f(JE(X)-e:)(O) = e, on peut
choisir un réel s1 appartenant à [-a, O[ vérifiant
Ü < f(JE(X)-e:)(s1) < 1.
Notons b la valeur de f(s1). On obtient le résultat désiré .
\in 2: 1, lP' (J: -JE( X)l 2: e)
= lP' ( : 2: JE(X) + e) + lP' ( : S JE(X) - e) s an + bn.
Il suffit de choisir c = max{a; b}.
22.11.6 Convergence en loi
Définition : Soit (Xn)n une suite de v.a.r. de fonctions de répartition
respectives Fn. On dit que la suite (Xn)n converge en loi vers la v.a.r.
X (de fonction de répartition F) si :
lim Fn(a) = F(a)
n-++oo
pour tout a, point de continuité de F.