22.11. CONVERGENCES
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Solution.
1.
Vi EN, Vs E [-a, a], ]p>(X = Xi)esx; ::; ]p>(X = xi)e°'lx;I.
Ainsi, la série LieN ]p>(X = Xi)esx; est normalement convergente sur le segment [-a, a] et l'on peut définir l'application cp par
+oo
Vs E [-a,a], cp(s) = IE(e 8 x) = L]p>(X = Xi)e 8 "';.
i=O
2. Pour tout élément i appartenant à J, l'application fi : [-a, a] 1-t ]p>(X =
Xi)esx; est continue sur le segment [-a, a]. La série LieN Jp>(X = Xi)esx;
étant normalement convergente sur le segment [-a, a], l'application cp est
continue sur ce segment.
3.
Soit f3 un réel vérifiant 0 < f3 < a. Pour tout élément i de I, la restriction
de l'application fi à l'intervalle] - /3, /3[ est dérivable, avec
Vs E] -/3,/3[, Jf(s) = Xi]p>(X = Xi)e 8 "';.
Ainsi,
Vi EN, Vs E] - /3,/3[, lff(s)I::; lxil]p>(X = Xi)e.Blx;I.
L'application définie sur JR+ par x 1-t xe<.B-a)x est continue sur JR+ et admet
une limite nulle en +oo. Elle est donc bornée. Notons M un majorant.
Vi EN, lxil]p>(X = Xi)e.Blx;I ::; MJp>(X = Xi)e°'lx;I.
On en déduit que la série LiEN lxil]p>(X = Xi)e.Blx;I est convergente et que la
série LieN Jf est normalement convergente sur l'intervalle] - /3, /3[. L'application cp est ainsi dérivable sur Uo<.B +oo
Vs E] - a, a[, cp'(s) = L Xi]p>(X = Xi)esx;.
i=O
fu(O) = 1
et
f~(O) = IE(X) - B.
4. Soit s un élément du segment [-a, a]. On a,
n
ws E [ ,.., '""]
esSn = II esXk.
V
-'-"•'-"'
k=l
D'après l'exercice 22.5, page 417, les variables aléatoires ( e 8 xk )i9::=;n sont
indépendantes. Et d'après la proposition 22.43, page 427 la variable e 88 n
admet un moment d'ordre 1, avec
n
IE(e 88 n) =II IE(sXk) = cpn(s).
k=l