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PROBABILITÉS
2. Supposons maintenant que pour tout entier naturel k, on ait
lim IP'(Xn = k) = IP'(X = k).
n-->+oo
Considérons un réel x. Alors,
F(x) = """' IP'(X = k) = lim
"""' IP'(Xn = k) = lim Fn(x).
Ent(x)
(Ent(:z;)
)
L.,;
n-->+oo
L.,;
n-->+oo
k=O
k=O
Ce qui termine la preuve.
Proposition 22.80 (Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson)
Soient À un réel strictement positif, (Xn)nEN* une suite de variables aléatoires
suivant une loi binomiale de paramètre n et ~ et X une variable aléatoire
suivant une loi de Poisson de paramètre À. Alors,
X loi X
n--->.
Preuve. Soit k fixé.
IP'(Xn = k)
k (À)k (
À)n-k
c -
1-n n
n
n!
(À)k(
A)n-k
(n-k)!k! n l-n
Àk
n!
(
À)n-k
k! (n - k)!nk 1 - n
Àk (~n-1 ... n-k+l) (l-~)n-k
k! n n
n
n
Le second terme du produit tend vers 1. Pour le troisième on obtient :
(1- ~)n-k = e(n-k)ln(l-*) = e(n-k)(-*-o(l/n)) = e->.+o(l)
d'où
En pratique, lorsque n est grand, on «approxime» IP'(Xn = k) par IP'(X = k).
Théorème 22.81 (Théorème central limite) Soit (Xn) une suite de v.a.r.
indépendantes et de même loi, d'espérances finies m et de variances finies a 2 •
On a:
t (Xk-m) --->N(O,l).
a...fii,
loi
k=l