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PROBABILITÉS
1. On peut écrire, pour tout réel s strictement positif,
IP' (: ~p+e) =IP'(exps(Sn-n(p+t:)) ~ 1)
:::; JE (exp s (Sn - n(p + e))) = (cp (s)t e-(p+e)ns = (cp(s)e-(P+e)s)n.
Markov
On en déduit :
Vs> 0, lP' ( : ~ p + t:) :::; ( cp(s)e-(p+e)s r.
On considère l'application f définie sur R+ par
f : R+ -----t R+*
s t-----t cp(s)e-(p+e)s.
En remarquant que f(O) = 1 et que f'(O) = -t:, on peut choisir un réel
strictement positif so vérifiant
0 < f(so) < 1.
Notons a la valeur de f(so). On obtient le résultat désiré.
2. On peut écrire, pour tout réel s strictement négatif,
3.
IP' (: :=;p-e) =IP'(exps(Sn-n(p-t:))~l)
:::; JE (exp s (Sn - n(p - t:))) = (cp (s)t e-(p-e)ns = (cp(s)e-(p-e)s)n.
Markov
On en déduit :
Vs < 0, lP' ( ~n :::; p - t:) :::; ( cp(s)e-(p-e)s r.
On considère l'application g définie sur R- par
g : R- -----t R+*
s t-----t cp(s)e-(p-e)s
En remarquant que g(O) = 1 et que g'(O) = e, on peut choisir un réel
strictement négatif s1 vérifiant
0 < g(s1) < 1.
Notons b la valeur de g(s1). On obtient le résultat désiré.
\ln ~ 1, lP' (1: -pl ~ e) = lP' ( : ~ p + e) + lP' ( : :::; p - e)
:=;an+bn.
Il suffit de choisir c = max{a;b}.