22.11. CONVERGENCES
457
Exercice 22.14 On considère un réel a strictement positif et X une variable aléatoire
discrète d'image (xi)iEJll admettant un moment exponentiel d'ordre a. (On pourra lire
la définition page 419.)
1. Vérifier, que pour tout réel s appartenant au segment [-a, a]. la variable aléatoire e 8 x admet un moment d'ordre 1.
On peut ainsi définir l'application cp par :
cp : [-a, aJ ----t JR+
s
1-----+
lE ( esX) .
2. Montrer, que l'application cp est continue sur le segment [-a, aJ et dérivable sur
l'intervalle J - a, a[ dont on déterminera l'application dérivée.
3. On considère un réel (}et l'application Io définie par
Io : [-a, aJ ----t JR+
s
1-----+
e- 0 scp(s).
Donner les valeurs de lo(O) et lé(O).
4. On considère (Xn)nEN* une suite de variables aléatoires indépendantes et de
même loi que X. On définit pour tout entier n strictement positif la variable
aléatoire Sn par
k=l
Montrer, que pour tout réel s appartenant au segment [-a, a]. la variable
aléatoire réelle e 88 n admet une espérance que l'on déterminera.
Pour la suite de l'exercice, on considère c un réel strictement positif.
5. (a) Montrer que pour tout réel s appartenant à l'intervalle JO, aJ, on a
lP' ( : :' .' .: IE(X) + c) ~ l{Ê(x)+e)(s).
(b) En déduire qu'il existe un réel a appartenant à l'intervalle JO, 1[, vérifiant
\fnEN*, IP' (: 2'.IE(X)+c) ~an.
6. (a) Montrer que pour tout réel s appartenant à l'intervalle [-a, O[. on a
lP' ( : ~ IE(X) - c) ~ l{Ê(x)-e)(s).
(b) En déduire qu'il existe un réel b appartenant à l'intervalle JO, 1[, vérifiant
\fnEN*, IP' (: ~IE(X)-c) ~bn.