22.11. CONVERGENCES
455
On en déduit que
Vn EN*, Vx E (O; 1], IPn(x) - f(x)I
='JE (f ( S~x)) - f(x)I ='JE (f ( S~x) - f(x)) 1
~JE (jt ( S~,x) - f(x)I) ~ € + 2 n~ 2 llfll=·
On considère un entier no strictement positif, vérifiant
1
0 ~ 2nô2 llf li= ~ e.
Ainsi,
Vn :' .:: no, llPn - fil= ~ 2e.
La suite de polynômes (Pn)nEN converge uniformément sur [O; 1] vers f.
22.11.5 Grandes déviations
En probabilités, l'étude des grandes déviations concerne l'étude de probabilités
d'événements rares. Dans cette section, nous améliorons la précision de la vitesse
de convergence vers 0 de la suite (22.26), page 453, tout d'abord dans le cadre de
variables aléatoires réelles indépendantes suivant une loi de Bernoulli (proposition
22.78), puis dans un cadre plus général (exercice 22.14).
Proposition 22. 78 Soit (Xn)nEN* une suite de variables aléatoires
indépendantes et suivant une même loi de Bernoulli de paramètre p. On
note pour tout n E N*, Sn = L~=l Xi. Soit e > O. Alors il existe des réels
positifs a, b etc, strictement inférieurs à 1, dépendant de p et e, vérifiant,
1.
2.
3.
On dit que ~ converge vers p avec une vitesse géométrique.
Preuve. On considère la fonction cp définie sur lR. par
Vs E IR., cp(s) = JE(exp(sX1)) = l -p+pe 8 •
Les variables Xi sont indépendantes, donc les variables esX; le sont aussi. On a,
ainsi,
JE(exp(sSn)) = (cp(s))n.
Soit e un réel strictement positif.