454
PROBABILITÉS
22.11.4 Théorème de Weierstrass
Théorème 22. 77 (de Weierstrass) Toute application définie et continue sur
le segment [O, 1], à valeurs réelles est limite uniforme sur ce segment d'une suite
de polynômes.
Preuve. On considère une application f continue sur le segment [O, 1], à valeurs
réelles. Soit x un réel appartenant à ce segment. Pour tout n E N*, on note Bn,x
une v.a.r. suivant une loi binomiale B(n, x). On considère Pn l'application
Pn : [O; 1] -----+ lR
X ~ JE [1 ( S~,x)]
Ona
n
k
Vx E [O, 1], Pn(x) = L 1(-)C~xk(l - x)n-k.
k=O
n
On remarque que pour tout entier naturel n, l'application Pn est la restriction sur
[O; 1] d'une fonction polynôme.
Montrons que la suite de fonctions polynômes (Pn)nEN* converge uniformément
sur le segment [O; 1] vers l'application f.
Soit ê un réel strictement positif. La fonction I étant uniformément continue sur
le segment [O, 1],choisissons un réel strictement positif ô, vérifiant
V(x, y) E ([O, 1]) 2 , lx - YI < ô::::} ll(x) - l(y)I < ê.
On peut écrire la variable aléatoire 11( 8 ~x) - l(x)I comme somme de deux variables :
Ona,
D'autre part,
La variable aléatoire n. 1 s':.,x -xl;?:o suit une loi de Bernoulli de paramètre IP'(I s~,x -
xi ~ ô). Son espérance est donc égale à IP'(I B~x - xi ~ ô). On obtient,
JE (11 ( B~x) - l(x)I) ::; ê + 21P' (1 S~,x - xi ~ Ô) 11111=·
En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on a