22.11. CONVERGENCES
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22.11.3 Loi des grands nombres
Théorème 22. 75 Loi faible des grands nombres. On considère une suite de
variables aléatoires réelles (Xn)nEN* indépendantes, de même loi et admettant
un moment d'ordre 2. On note m l'espérance commune. Alors la suite définie,
pour tout entier strictement positif n, par
1 n
- I:xk
n
k=l
converge en probabilité vers m.
Preuve. L'espérance est une forme linéaire. Ainsi,
On note a 2 la variance commune. Les variables (Xn)nEN* sont indépendantes:
n
n
V(L Xk) = L V(Xk) = na 2
k=l
k=l
et
V (.!. ~ xk) = na2 = a2.
n L.,,
n 2
n
k=l
Soit a un réel strictement positif. Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Thebychev :
Nous obtenons le résultat désiré.
(}"2
::::;-2· na
(22.26)
Avec des hypothèses plus faibles, le théorème suivant nous donne une conclusion
plus forte:
Théorème admis 22. 76 Loi forte des grands nombres. On considère une
suite de variables aléatoires réelles (Xn)nEN* indépendantes, de même loi et
admettant un moment d'ordre 1. On note m l'espérance commune. Alors la
suite définie pour tout entier strictement positif n, par
converge presque sûrement vers m.