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PROBABILITÉS
22.11.2 Convergence en prùbabilité
Définition : Soient (Xn)neN une suite de variables aléatoires réelles,
définies sur un espace probabilisé (n, A, J?) et X une variable aléatoire
réelle définie sur le même espace. La suite (Xn)neN converge en probabilité vers X si :
Va E JR+*,
lim I? (IXn - XI 2 a) = O.
n-++oo
Proposition 22. 74 Soient (Xn)neN une suite de variables aléatoires réelles,
définies sur un espace probabilisé (n, A, J?) et X une variable aléatoire réelle
définie sur le même espace. Si la suite (Xn)neN converge presque sûrement vers
X, alors elle converge en probabilité vers X.
Preuve. Soient (Xn)neN une suite de variables aléatoires réelles, définies sur un
espace probabilisé (n, A, J?) et X une variable aléatoire réelle définie sur le même
espace. On suppose que la suite (Xn)neN converge presque sûrement vers X. On
considère a un réel strictement positif. Pour tout entier naturel n, on note An et
Bn les événements suivants :
+oo
An = (IXn - XI < a)) et Bn = n Ak
k=n
La suite (Bn)neN est une suite croissante d'événements dont la limite contient
l'événement de probabilité 1 :
{w/la suite (Xn(w))neN converge vers X(w)}
Ainsi,
En outre
On en déduit que
et que
lim l?(A~) = O.
n-++oo
D'où le résultat.