22.11. CONVERGENCES
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22.10.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Proposition 22. 73 Soit X une variable aléatoire réelle admettant un moment
d'ordre 2 et a un réel strictement positif. Alors,
IP'(IX - IE(X)I 2 a):::; V(~).
a
Cette inégalité montre l'intérêt de la variance pour mesurer la dispersion d'une
v.a.
Preuve.
IP'(IX - IE(X)I 2 a)
=
IP'(IX - IE(X)l 2 2 a 2 )
IE(IX - IE(X)l2)
V(X)
a2
~·
<
Markov
22.11 Convergences
22.11.1 Convergence presque sûre
Définition :Soient (Xn)nEN une suite de variables aléatoires réelles,
définies sur un espace probabilisé (0, A, IP') et X une variable aléatoire
réelle définie sur le même espace. On dit que la suite (Xn)nEN converge
presque sûrement vers X si
{w/la suite (Xn(w))nEN converge vers X(w)}
est de probabilité 1.
Exemple : On considère l'espace probabilisé ([-1; 1]; B([-1; 1]), U) où U est la
probabilité uniforme sur le segment [-1; l]. Pour tout entier naturel n, on considère
Xn la variable aléatoire réelle définie sur cet espace probabilisé par :
't:/w E [-1; 1], Xn(w) = wn.
La suite de variables aléatoires (Xn)nEN converge presque sûrement sur [-1; 1] vers
l'application nulle.