450
PROBABILITÉS
On en déduit que le réel a est strictement négatif. On pose À = -a. On
obtient:
\lx E ~+, FT(x) = 1- GT(x) = 1- e-,\x.
La fonction FT étant positive et croissante sur ~. on a :
VxE~,
FT (x) = { 0 six< 0,
1 - e-,\x = si X ~ 0,
L'application FT est la fonction de répartition d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre À. La fonction de répartition caractérisant la loi, on en déduit que T suit une loi exponentielle de paramètre
À.
22.9.6 Loi normale centrée réduite
Définition : On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit une loi normale centrée réduite si elle admet pour fonction de densité, la fonction
f définie par,
\lx E~,
On note X,...., N(O, 1)
22.10 Inégalités
1 _,,2
f(x) = rn=e-2 .
y27f
22.10.1 Inégalité de Markov
Proposition 22. 72 Soit X une variable aléatoire réelle positive admettant un
moment d'ordre 1 et a un réel strictement positif. Alors,
JP>(X ~ a) ::; JE(X)
a
Preuve. On effectue la preuve dans le cas discret.
JE(X) =
L XkJPl(X = Xk)
XkEX(O)
> L Xk?(X = Xk)
a?(X ~a)