22.9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES CONTINUES
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4. On remarque que
GT(O) = GT(O + 0) = (GT(0)) 2 •
Le réel GT(O) étant strictement positif, nous obtenons
GT(O) = 1.
Soit x un réel positif. On vérifie alors, à l'aide d'une récurrence évidente, que
Vn EN, GT(nx) = (GT(x)t.
Soit r un rationnel positif. On considère deux entiers positifs p et q vérifiant
r = ~·Alors
(GT(rx))q = GT(qrx) = GT(px) = (GT(x))P.
L'application GT étant à valeurs positives, on obtient
GT(rx) = (GT(xr.
5. Rappelons que l'application GT est à valeurs strictement positives.
Vr E Q+, GT(r) = (GT(lr) = exp(rlnGT(l)).
On considère le réel a= ln(GT(l)). Ainsi,
Vr E Q+, GT(r) = ear.
Soit x un réel positif. On note (dn)nEN la suite des approximations décimales
par défaut de x et (en)nEN la suite des approximations décimales par excès
de x. La fonction de répartition FT étant croissante, l'application GT est
décroissante.
Donc,
Vn E N, eaen :::; GT(x) :::; eadn.
L'application exponentielle étant continue sur ~ et en particulier en x, les
suites ( eaen )nEN et ( eadn )nEN sont convergentes vers eax. Ainsi,
On obtient
Vx E ~+, GT(x) = ea"'.
6. L'application FT étant une fonction de répartition,
lim FT(x) = 1,
x-++oo
ainsi,
lim GT(x) =O.
x-++oo