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PROBABILITÉS
3. Montrer que la fonction GT, définie sur JR.+ par :
Vx E JR.+, GT(x) = 1 - FT(x)
est strictement positive et vérifie
V(x, y) E (JR.+) 2 , GT(x +y)= GT(x)GT(y).
4. Montrer que pour tout réel positif x et tout rationnel positif r, on a
GT(rx) = (GT(x)t.
5. Montrer qu'il existe un réel a vérifant
6. Montrer que la variable aléatoire T suit une loi exponentielle.
Solution.
1. On note Fx la fonction de répartition de la variable X. On a:
Vx E JR., Fx(x)={ Osix J; >..e->.tdt = 1 - e->.x si x : ' . ' . ". O.
2. Pour tout t : ' . ' . ". 0, on a P (X > t) = 1 - Fx (t) = e->.t >O. Ainsi,
P ((X
) 1 ( X t)) = P ((X > s + t) n (X > t)) = P (X > s + t)
> 8 + t
>
P (X > t)
P (X > t)
e->.(s+t)
=
= e->.s = P (X > s).
e->.t
3. On a,
VxEJR.+, GT(x)=l-FT(x)=P(T>x).
Dans la propriété (22.25), l'existence de la probabilité conditionnelle assure
que, pour tout réel positif t, la probabilité de l'événement (X > t) est strictement positive. Ainsi,
Vt E JR.+' GT(t) >o.
De plus,
GT(s) = IP(X > s) = P ((X> s + t) 1 (X> t))
D'où le résultat.
P ((X> s + t) n (X> t))
P(X > t)
GT(s + t)
GT(t) .
P(X > s+t)
P(X > t)