22.9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES CONTINUES
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Proposition 22.71 Si une v.a.r X suit une loi exponentielle de paramètre),
alors
1
E(X) =A'
1
V(X) = ), 2 •
Preuve. Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre
À.
= 1+00 e->.xdx = ~·
La variable X admet un moment d'ordre 1 avec
1
E(X) = :x·
2 r+ 00
2
2
= :x· Jo Àxe->.xdx = AE(X) = ), 2 .
La variable X admet un moment d'ordre 2 avec
Ainsi,
2
2
E(X) = ), 2 .
2
2
2
1
1
V(X) = E(X ) - (E(X) ) = .>, 2 - ), 2 = ), 2 •
Caractérisation des variables aléatoires « sans mémoire »
Exercice 22.13 Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de
paramètre À.
1. Donner sa fonction de répartition.
2. Montrer que :
\f (s, t) E JR+ x JR+, P ((X> s + t) 1 (X> t)) = P (X> s). (22.25)
La propriété (22.25) se traduit en disant que la variable aléatoire X est sans
mémoire.
Soit T une variable aléatoire réelle sans mémoire. Le but des questions suivantes
est de montrer que cette variable aléatoire suit une loi exponentielle. On note
Fr sa fonction de répartition.