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PROBABILITÉS
Solution. Les variables X et (-Y) sont indépendantes (exercice 22.5 page 417),
la loi de la variable (-Y) admet pour fonction de densité la fonction indicatrice
du segment [-1; O] notée ].[-l;O]· La loi de la variable (X -Y) admet pour fonction
de densité la fonction que l'on notera f, produit de convolution
].[-1;0] * ].[O;l] ·
Ainsi,
Vx ER., f(x) = 1:
00
].[-1;01(x - t).1[0;11(t)dt.
Soit x un réel. Alors
].(-l;Oj(X - t) = 1 <=> -1:::; X - t:::; Ü <=>X:::; t:::; X+ 1<=>].(x;x+lj(t)=1.
Donc,
Le réel f(x) est la longueur de l'intervalle, éventuellement vide, ([x; x + l] n [O; l]).
On trouve
{
f(x) = 0 si lxl > 1,
f(x) = x + 1 si - 1 :::; x :::; 0,
f(x) = 1 - x si 0 :::; x :::; 1.
Nous remarquons que l'application f est paire.
Soit é un réel strictement compris entre 0 et 1.
IP'(IX -YI< é) = IP'(-é = 2 foe (1- x)dx = 1- (1- é) 2 .
22.9.5 Loi exponentielle
Définition : Soit À un réel strictement positif. Une v.a.r X suit une loi
exponentielle de paramètre À si elle admet pour fonction de densité la
fonction f>, définie par,