22.9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES CONTINUES
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22.9.4 Loi uniforme continue
Définition: Soient a et b deux réels tels que a< b. Une v.a.r X suit une
loi uniforme sur l'intervalle (a, b] si elle admet pour fonction de densité
la fonction f définie par
VxE~,
1
f(x) = b _a li[a,bJ(x).
Proposition 22.70 Si une v.a.r X suit une loi uniforme sur un intervalle
[a, b], alors
IE(X) =a; b' V(X) = (a - b)2
12 .
Preuve. Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur un segment [a; b].
Ainsi, X admet un moment d'ordre 1 et
IE(X) =a+ b.
2
1
+
00
x2
1 lb
1 [x3] b
-oo b - a ]_[a,bj(x)dx = b - a a x2dx = b - a 3 a
b 3 - a 3
a 2 + ab + b 2
=
= - - - -
3(b-a)
3
Ainsi, la variable X admet un moment d'ordre 2 avec
IE(X2) = a2 + ~b + b2.
On obtient
a+b
2
V(X) = IE(X2) - (IE(X)2) = a2 + ~b + b2 - (a; b) 2 = (a ~2b)2
Exercice 22.12 On considère X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant
une loi uniforme sur le segment (O; 1]. On considère c un réel strictement positif et
strictement inférieur à 1. Calculer
IP'(IX - YI :::; c).