22.9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES CONTINUES
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Proposition admise 22.54 Soient (n, A, IP) un espace probabilisé, X et Y
deux variables aléatoires réelles continues, définies sur cet espace et admettant
un moment d'ordre 1, alors :
1. La variable (X+ Y) admet un moment d'ordre 1 avec
IE(X +Y) = IE(X) + IE(Y).
2. Pour tout réel a, la variable (aX) admet un moment d'ordre 1 avec
IE(aX) = alE(X).
Corollaire 22.55 Soit (n, A), IP) un espace probabilisé. Muni des lois + et .,
l'ensemble des variables aléatoires réelles continues définies sur n et admettant
un moment d'ordre 1 est un espace vectoriel sur!R que l'on notera V~(n). Dans
cet espace, l'espérance est une forme linéaire.
Preuve. Évident
Variance, écart-type
Proposition 22.56 Soit X une variable aléatoire continue admettant un moment d'ordre 2. Alors la variable centrée (X - IE(X)) admet également un
moment d'ordre 2. On appelle alors variance de X, le réel positif,
V(X) =JE [(X - IE(X)) 2 ] •
Preuve. Identique à la preuve de la proposition 22.32
Proposition 22.57 Si une variable aléatoire continue X admet un moment
d'ordre 2, on a
V(X) = IE(X 2 ) - (IE(X)) 2 •
Preuve. Identique à la preuve de la proposition 22.33
Proposition 22.58 Soient a et b deux réels et X une variable aléatoire continue admettant un moment d'ordre 2. On a,
V(aX + b) = a 2 V(X).
Preuve. Identique à la preuve de la proposition 22.34