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PROBABILITÉS
Définition : Soit a un réel strictement positif et X une variable aléatoire
continue. On dit que la variable aléatoire X admet un moment exponentiel d'ordre a si l'intégrale
1
+00
_
00
e°'l"'lf(x)dx
est convergente.
Proposition 22.52 Soit a un réel strictement positif et X une variable
aléatoire continue admettant un momerJ,t exponentiel d'ordre a. Alors,
1. Pour tout réel f3 strictement positif et inférieur à a, la variable aléatoire
X admet un moment exponentiel d'ordre f3 .
2. Pour entier strictement positif k, la variable aléatoire X admet un moment d'ordre k .
Preuve. La preuve est similaire à celle de la proposition 22.27, page 419.
22.9.2 Espérance, variance, covariance
Espérance
Définition : Lorsqu'il existe, le moment d'ordre 1 d'une variable
aléatoire continue est appelé espérance et noté
1
+00
IE(X) = -oo xf(x)dx.
Il
Définition : On dit qu'une variable aléatoire est centrée si son espérence
est nulle.
Remarque 22.12 Une variable aléatoire continue X suit une loi de Cauchy si
elle admet pour fonction de densité la fonction f définie par :
Vx ER.,
1
f(x) = -7r(,..--l_+_x2.,,..,..)'
On remarque qu'une telle variable n'admet pas d'espérance.
Proposition admise 22.53 Une variable aléatoire continue X admet un moment d'ordre r, si et seulement si la variable aléatoire xr admet un moment
d'ordre 1 avec