22.9. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES CONTINUES
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22.9.1 Moments d'une variable aléatoire continue
Définition : Soit r un entier strictement positif. On dit qu'une variable aléatoire continue X, de densité f admet un moment d'ordre r si
l'intégrale
1-:
00 xr f(x)dx
est absolument convergente. Dans ce cas, on appelle moment d'ordre r
de X le réel
Remarque 22.11 L'application x 1-+ xr f(x) gardant un signe constant sur JR+
d'une part, et sur IR- d'autre part, la convergence de l'intégrale sur lR équivaut à
l'absolue convergence de cette intégrale.
Proposition 22.51 Soient X une variable aléatoire continue, r et s deux entiers strictement positifs vérifiant s > r. Si X admet un moment d'ordres alors
X admet un moment d'ordre r.
Preuve. Soient s et r deux entiers strictement positifs vérifiant s > r. On suppose
que l'intégrale
\..
f
+oo
-oo lxsl f(x)dx
est convergente. Nous avons,
Les deux intégrales
étant convergentes, l'intégrale
l'est aussi.