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PROBABILITÉS
Solution. Remarquons que la famille d'événements
(X= n)nEN
forme un système complet d'événements.
La variable Y est une variable aléatoire discrète à valeurs entières positives. Soit
k un entier naturel :
(Y= k) = UnEN ((Y= k) n (X= n)).
Ainsi,
+oo
IP'(Y = k) = LIP'((Y = k) n (X= n)).
n=O
En remarquant, que pour tout entier n strictement inférieur à k, les événements
(X= n) et (Y= k) sont incompatibles,
+oo
+oo
IP'(Y = k) = LIP'((Y = k) n (X= n)) = LIP'(X = n).IP'(Y = k/X = n).
n=k
n=k
La loi de la variable aléatoire Y, conditionnée par l'événement (X = n), suit une
loi binomiale de paramètre ( n, p). Ainsi,
+oo
+oo
Àn
IP'(Y = k) = L IP'(X = n).IP'(Y = k/X = n) = L e->. 1 c~pk(l - Pt-k
n=k
n=k
n.
Nous obtenons
La variable aléatoire Y suit une loi de Poisson de paramètre Àp.
22.9 Variables aléatoires réelles continues
Proposition admise 22.50 Muni des lois +, x, ., l'ensemble des variables
aléatoires réelles continues définies sur un espace probabilisé (0, A, IP' ) est une
algèbre sur lR. que l'on notera Vc(O).