22.8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES DISCRÈTES
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Exercice 22.9 Soient À un réel X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson
de paramètre À. Montrer que X admet des moments exponentiels de tous ordres.
Solution. Soit a un réel strictement positif. On a,
Àk
(Àea)k
IP'(X = k)eka = e->..-eka = e->.. _ _ _
k!
k! .
Vk EN,
La série Ek:;:.:o IP'(X = k)eak est convergente avec
+oo
L IP'(X = k )eak = e->..e>..e" = e>..(e"-1).
k=O
Exercice 22.10 Soit n un entier strictement positif. On considère .X1, · · · , Àn n réels
strictement positifs, X 1 , · · · , Xn n variables aléatoires indépendantes. On suppose,
que pour tout entier k, la variable Xk suit une loi de Poisson de paramètre Àk.
Montrer que la variable aléatoire
n
X=LXk
k=l
suit une loi de Poisson dont on déterminera le paramètre.
Solution. Pour tout entier k compris entre 1 et n l'application gk, fonction
génératrice de la variable aléatoire X k, vérifie :
Vs E ~' 9k(s) = e>-k(s-1)_
Les variables (Xkh~k~n étant indépendantes, l'application g, fonction génératrice
de la variable X vérifie (voir exercice 22.7) :
Vs E [-1; 1], g(s) = Ilk=19k(s) = Ilk=l exp (Àk(s - 1)) =exp ((s - 1) t Àk) .
k=l
La fonction génératrice caractérisant la loi de la variable aléatoire, la variable X
suit une loi de Poisson de paramètre E~=l Àk·
'9
Exercice 22.11 On considère que, sur une journée, le nombre de personnes venant
visiter la concession automobile Broumbroum est une variable aléatoire X suivant une
loi de Poisson de paramètre À, où À est un réel strictement positif. On pense que
chaque visiteur a une probabilité p (p E)O; 1[) de commander une automobile. On
suppose que les décisions de commander ou de ne pas commander une automobile
sont indépendantes entre les différents clients.
On note Y une variable aléatoire comptabilisant, sur une journée, le nombre de clients
ayant commandé une voiture. Donner la loi de Y.