436
PROBABILITÉS
Solution. Soit a un réel strictement positif. Alors,
La série I::k>l JP(X = k)ek°' est une série géométrique de raison (1- p)e°'. Elle est
convergente si et seulement si
(1 - p)e°' < 1 {:::}a< - ln(l - p).
On en déduit que la variable aléatoire X admet un moment exponentiel d'ordre a
si et seulement si a appartient à l'intervalle ]O, - ln(l - p)[.
22.8.9 Loi de Poisson
Définition : Soit À un réel strictement positif. Une variable aléatoire
réelle X suit une loi de Poisson de paramètre À si
Vk EN,
On note X rv P(.X).
Proposition 22.49 Soit X, une variable aléatoire réelle suivant une loi de
Poisson de paramètre À. On a,
Vs E IR, gx(s) = eÀ(s- 1 >,
JE(X) = À, V(X) = À.
Preuve.
Vs E IR,
Ainsi,
I (1) \ 9Xll (1) = \2,
9x
= "'•
"'
et
JE(X) = g~(l) =À, V(X) = g~(l) + g~(l) - (g~(1)) 2 = .X 2 +À - .X 2 =À.