22.8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES DISCRÈTES
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22.8.8 Loi géométrique
Définition : Soit p un réel appartenant à JO, 1[. Une variable aléatoire
réelle X suit une loi géométrique de paramètre p si
Vk EN*, IP'(X = k) = p(l - p)k- 1 .
On note X,...., Q(p).
Proposition 22.48 Soit X, une variable aléatoire réelle suivant une loi
géométrique de paramètre p. On a,
Preuve.
Vs E [-1, 1],
ps
9 x(s) = 1- (1- p)s'
IE(X) = ~' V(X) = (l ~ p).
p
p
+oo
Vs E [-1; 1], 9x(s) = LP(l - p)k-Isk.
k=l
Cette série est géométrique de raison (1 - p)s et de premier terme ps. Ainsi,
Vs E [-1; 1),
ps
9 x(s) = 1- (1-p)s·
Le rayon de convergence de cette série entière est 1 ~P, strictement supérieur à 1.
et
1
1
V s E ] - - · - [
1-p'l-p'
1
1
VsE]-- 1 - ; - 1 -[,
-p
-p
9 ~(s) = (1- (lp- p)s)2
Il ( )
2p( 1 - p)
9xS =(1-(1-p)s)3
On obtient
Ainsi,
9~(1) = ~' 91(1) = 2 ( 1 ~ p).
p
IE(X) = 9~(1) = ~'
p
V(X) = 91(1) + 9~(1) - (9~(1)) 2 = l ~p.
p
Exercice 22.8 Soient p un réel appartenant à l'intervalle ]O, 1[ et X une variable
aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p. Pour quels réels positifs a, la
variable aléatoire X admet-elle un moment exponentiel d'ordre a?