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PROBABILITÉS
En utilisant le résultat de la question 3.b de l'exercice 22.7, lous obtenons,
n
Vs E [-1; 1], gx(s) = ITgxi(s) = (ps + (1- p))n.
i=l
Le support de la variable X étant fini, l'application gx est un polynôme. Ainsi,
Vs E ~' gx(s) = (ps + (1 - p)t.
Développons ce polynôme,
n
Vs E ~' gx(s) = L C~pk(l - p)n-ksk.
k=O
En identifiant avec les coefficients de la série génératrice, nous avons
De plus,
n
IE(X) = LIE(Xi) = np.
i=l
Les variables Xi, X2, · · · Xn étant indépendantes
n
V(X) = :L:v(Xi) = np(l - p).
i=l
22.8. 7 Loi uniforme discrète
Définition : Soit n un entier strictement positif. Une variable aléatoire
réelle discrète X suit une loi uniforme sur {1, · · · , n} si
P(X = i) = ~ pour tout i E {1, · · · , n}
n
On note X "' U ( { 1, · · · , n}).
Proposition 22.47 Soit X une variable aléatoire réelle discrète suivant une
loi uniforme sur {l, · · · , n}. On a
et
IE(X) = n + 1
2
IE(X2) = t k 2 = (n + 1)(2n + 1)
k=l n
6
V(X) = IE(X 2 ) - IE(X) 2 = n
2 - l.
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