22.8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES DISCRÈTES
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22.8.5 Loi de Bernoulli
Définition : Soit p un réel appartenant à [O, 1]. Une variable aléatoire
réelle X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si
lP'(X = 1) = p, lP'(X = 0) = 1 - p.
On note X rv B(p).
Exemple : Soit (n, A, lP') un espace probabilisé. On considère A un événement de
cet espace. L'application ].A définie sur n est une variable aléatoire réelle suivant
une loi de Bernoulli de paramètre lP'( A).
Proposition 22.45 Soit X, une variable aléatoire réelle suivant une loi de
Bernoulli de paramètre p. On a,
IE(X) = p, V(X) = p(l - p),
Vs E ~. gx(s) = ps + (1 - p).
22.8.6 Loi binomiale
Définition : Soient n un entier strictement positif et p un réel appartenant à [O, 1]. Une variable aléatoire réelle X suit une loi binomiale de paramètre ( n, p) si X est la somme de n variables aléatoires indépendantes
suivant une loi de Bernoulli de paramètre p.
On note X rv B(n,p).
Proposition 22.46 Soit X, une variable aléatoire réelle suivant une loi binomiale de paramètre ( n, p). On a,
Vs E ~. gx(s) = (ps + (1 - p)t,
Vk E {O, 1 · · · , n}, lP'(X = k) = C~pk(l - p)n-k,
IE(X) = np, V(X) = np(l - p).
Preuve. Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre
(n,p) et Xi, X2, .. · Xn des variables aléatoires indépendantes, suivant une loi de
Bernoulli de paramètre p et vérifiant