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PROBABILITÉS
5. La variable aléatoire X admet un moment d'ordre 2 si la série
+oo
L n 2 P(X = n)
n=l
est convergente.
(a) Supposons que la variable aléatoire X admette un moment d'ordre 2
donc un moment d'ordre 1. La série à termes positifs
+oo
L n(n - l)P(X = n)
n=l
est également convergente.
\ln~ 2, Vs E (-1, 1), lg~(s)I = ln(n - l)]p>(X = n)sn- 2 1
:::; n(n - l)]p>(X = n).
La série
n=2
est normalement convergente sur (-1, 1). La restriction de l'application
gx au segment (-1, 1) est ainsi deux fois dérivable sur ce segment. On
obtient,
+oo
+oo
+oo
g~(]_ -) = L n(n - l)P(X = n) = L n 2 P(X = n) - L nP(X = n)
n=O
n=O
n=O
= IE(X 2 ) - IE(X).
(b) Si la variable X admet un moment d'ordre 1 mais pas de moment
d'ordre 2. Alors
+oo
L n(n - l)]p>(X = n) = +oo.
n=2
On montre, de la même manière que dans la question précédente, que
lim 9x(l) - 9x(s) = +oo.
s-+11-s
Ainsi gx n'est pas deux fois dérivable à gauche en 1.
(c) Si la variable X n'admet pas de moment d'ordre 1, la fonction génératrice n'est pas dérivable à gauche en 1.
6. Supposons que X admette un moment d'ordre 2
Dans cette section et la suivante, X désigne une variable aléatoire réelle définie
sur un espace probabilisé (0, A, P).