22.8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES DISCRÈTES
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4. La variable X admet un moment d'ordre 1 si la série à termes positifs,
+oo
L:nlP'(X = n)
n=l
est convergente.
(a) Supposons que X admette un moment d'ordre 1. Alors,
\ln EN*, Vs E [-1, 1], lg~(s)I = lnlP'(X = n)sn-ll:::; nlP'(X = n).
La série
+oo
LY~(s)
n=l
est normalement convergente sur [-1, 1]. La restriction de l'application
gx au segment [-1, 1] est ainsi dérivable sur ce segment. On obtient,
+oo
g~(], -) = L nlP'(X = n) = JE(X).
n=l
(b) Supposons que la variable aléatoire X n'admette pas de moment d'ordre
1. Alors,
+oo
L nlP'(X = n) = +oo.
n=l
Soit A un réel strictement positif. Il existe un entier naturel N tel que
N
L nlP'(X = n) ~ 2A.
n=l
Il existe un réel a E]O, 1[ tel que
N
Vs E]a, 1[, L nlP'(X = n)sn-l ~ A.
n=l
En conséquence,
+oo
N
Vs E]a, 1[, g~(s) = L nlP'(X = n)sn-l ~ L nlP'(X = n)sn-l ~A.
n=l
n=l
En utilisant le théorème des accroissements finis, on obtient,
On en déduit que
Vs E]a, 1[,
gx(l) - gx(s) >A.
1-s
-
lim gx(l) - gx(s) = +oo
s-+D.1 - S
et que l'application gx n'est pas dérivable à gauche en 1.