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PROBABILITÉS
Solution.
1. De l'égalité,
2.
+oo
LIP(X = n) = 1,
n=O
on déduit que la série entière gx est convergente pour s = 1. Le rayon de
convergence est supérieur ou égal à 1.
+oo
't/k EN, Vs E] -1, 1[, g<;> (s) = L n(n - 1) · · · (n - k + l)IP(X = n)sn-k
n=k
= ~ (n + k)!IP(X = n + k)sn.
L..,,
n!
n=O
En particulier,
g<;>(o) = k!.IP(X = k).
3. (a) Pour tout réels appartenant au segment [-1, 1], les séries
+oo
+oo
L IP(X = n)sn et LIP(Y = n)sn
n=O
n=O
sont absolument convergentes. On peut effectuer leur produit de Cauchy.
+oo
Vs E [-1, 1], gx(s)gy(s) = L ansn,
n=O
avec
n
'tin EN, an= LIP(X = k)IP(Y = n - k).
k=O
Les variables aléatoires X et Y étant indépendantes,
n
'tin EN, an= LIP((X = k) n (Y= n - k)) = IP(X +Y= n).
k=O
D'où,
+oo
Vs E [-1, 1], gx(s)gy(s) = LIP(X +Y= n)sn = g(x+Y)(s).
n=O
(b) Évident à l'aide d'une récurrence en utilisant le résultat de l'exercice
22.6.
Pour la suite, notons
+oo
Vs E [-1, 1], gx(s) = L gn(s),
n=O
avec
'tin EN, Vs E [-1, 1], gn(s) = IP(X = n)sn.