22.8. VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES DISCRÈTES
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Preuve. Nous savons que
V(X +Y) = V(X) + V(Y) + 2 Cov(X, Y).
Les deux variables étant indépendantes, on a
V(X +Y) = V(X) + V(Y).
D'où, le résultat.
22.8.4 Fonction génératrice d'une variable aléatoire discrète
Exercice 22. 7 On considère X une variable aléatoire réelle définie sur (n, A, IP' ) à
valeurs dans N. On appelle fonction génératrice de X, la série entière réelle gx définie
par
+oo
gx(s) = L IP'(X = n)sn.
n=O
1. Montrer que le rayon de convergence de gx est supérieur ou égal à 1.
(k)(O)
2. Montrer que, pour tout k appartenant à N, IP'(X = k) = ~·
3. (a) Montrer que si, X et Y sont deux variables aléatoires réelles, définies sur
(n, A, IP' ) à valeurs dans Net indépendantes, alors
Vs E [-1, 1], 9(x+Y)(s) = gx(s)gy(s).
(b) Montrer que si (X1, X2, · · · , Xn) sont des variables aléatoires réelles indépendantes, définies sur (n, A, IP' ) à valeurs dans N, alors
n
Vs E [-1, 1], 9(X1+x2 +···Xn)(s) =Il 9xk(s).
k=l
4. Montrer que X admet un moment d'ordre 1 si et seulement si gx est dérivable
à gauche en 1 et sous cette hypothèse
IE(X) = 9Sc(:n.-).
5. Montrer que X admet un moment d'ordre 2 si et seulement si gx est deux fois
dérivable à gauche en 1 et sous cette hypothèse
6. En déduire que si X admet un moment d'ordre 2