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PROBABILITÉS
1. On considère X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes admettant un moment d'ordre 1 de support respectifs (xi)ieI et (y3)jEJ· Par
hypothèse,
L lxillP'(X = xi) < +oo, L IY3 llP'(Y = Y3) < +oo.
jEJ
iEl
Ainsi, les variables aléatoires X et Y étant indépendantes,
(i,j)ElxJ
L lxiYj llP' ((X =xi) n {Y = y 3 )]
(i,j)Elx J
iEl jEJ
= (2: lxillP'{X =Xi)) · (L IY3llP'(Y = Y3)) < +oo.
iEl
jEJ
La variable XY admet ainsi un moment d'ordre 1, avec
IE(XY) = L xiy 3 1P'[(X =xi) n (Y= y 3 )]
(i,j)ElxJ
= L XiY3IP'(X = Xi)IP'(Y = Yj) = L L XiY3IP'(X = Xi)IP'(Y = Yj)
(i,j)Elx J
iEl jEJ
= (I:xilP'{X =Xi)). (LY3IP'(Y = Y3)) = IE{X)IE{Y).
iEl
jEJ
Ces égalités et les permutations de termes sont légitimes puisque ces séries
sont absolument convergentes.
2. On considère X et Y deux variables aléatoires indépendantes et admettant
un moment d'ordre 2. Alors
V(X +Y)= JE [{X+ Y) 2 - IE{X + Y) 2 ]
= IE{X 2 ) + IE{Y 2 ) + 21E{XY) + [IE{X + Y)] 2 - 21E{X + Y).IE(X +Y)
= IE{X 2 ) + IE{Y 2 ) + 21E{XY) - [IE{X + Y)] 2
= V(X) + V{Y) + 21E{XY) - 21E{X)IE{Y).
Les deux variables aléatoires étant indépendantes, on obtient le résultat
désiré.
Corollaire 22.44 Soient (n, A), IP' ) un espace probabilisé et (X, Y) un couple
de VJ(Q) de variables aléatoires indépendantes, alors
Cov(X, Y) = O.